數學：思維的體操

面對數學，有人畏懼退縮，有人如癡追求，還有人認爲是符號遊戲和解題訓練。事實上，數學之美在於縝密邏輯和高度抽象。如培根所言，數學是思維體操。感悟數學思想方法，改善思維品質是學習它的要旨所在。

學習數學的過程應如是：先學會從一些現象中抽象出數學概念並學會用數學語言給出嚴格的定義，再學會分析其中的基本規律並學會用公式進行描述，然後推導出更多的結論並給出一些應用。人們從事數學活動時所必需的各種能力的綜合就是數學能力，而數學能力的核心是數學思維能力。如果說思維是人的一種高級的心理活動形式，那麼數學思維能力就是直接影響數學活動效率的，並使數學活動順利完成的個性心理特徵。

在兒時充滿好奇的課堂講述高斯發現整數從1起依次加到100可以通過這些數首尾相加的和得到的童年故事，提出四邊形切去一個角還剩幾個角的問題；還有在現代科學技術時代構建由“智能投屏+交互課件+創意道具+APP學習平臺”打造的魔法數學思維館等等，使我們看到科學家故事、腦筋急轉彎、趣味遊戲、快速心算和思維啓蒙訓練活動，可以讓兒童在遊戲中培養數學感知，開發大腦潛能，鍛鍊思維的邏輯性和抽象性。

邏輯思維的基本形式是概念、判斷、推理，是嚴密的理性思維過程。中學數學教學重視通過解題訓練，系統培養數學演算能力、數據處理能力、空間想象能力和邏輯思維能力等數學素養，而其中邏輯思維能力尤爲重要。一方面，解題過程注重推理能力的訓練，如在函數板塊，根據函數的特性，利用數形結合，通過運算或推理，來找出函數的數量關係等，解題推導過程要求條理性、邏輯性、靈活性及創新性，因此邏輯思維和推理論證扮演了非常重要的角色。另一方面，解題過程注重思維嚴謹的培養，要求學生思考縝密，言必有據，思路清晰，運用正確的推理方法和推理格式，準確而有條理地表述自己思維過程。數學邏輯思維是嚴密的理性思維能力，它的形成可以使學生能夠在頭腦中自覺地進行邏輯建構，這種思維模式的縝密性、條理性和思辨力會自覺用於一般問題的處理中，可使學生受益終身。

抽象思維是運用抽象概念來透過表象反映本質，達到統一表述的心理過程。在大學數學的學習過程中，抽象思維的培養尤其重要。引入線性空間用於表述具有線性關係的數學對象的統一特徵；引入矩陣特徵值用於描述二次曲面的統一特徵。又從無窮序列的變化思考，引出了極限、連續、導數和積分的概念；還從一維空間的距離思考，引出了賦範空間、度量空間和拓撲空間的課程內容。大學數學的學習中，概念一次又一次抽象，眼界一次又一次打開，思維波濤一次又一次向前推進。可以看到，當人們擺脫直觀運用符號高度抽象形成概念時，可以更深入看到問題本質，提高思維效率，同時高度的抽象是爲了更廣泛的應用。因此，大學數學學習使學生在知識學習和解題訓練的同時，心理素質不斷提高，抽象思維和創新能力逐漸提升。

學習數學不是空洞地瞭解概念、公式、原理和機械地解題。一方面，要將數學理論的學習與應用相結合才能激發學生的好奇心和求知慾，培養創新意識，進入到創造性想象的思維階段，使思維品質進一步昇華。目前，高等學校組織的本科生科研訓練計劃、數學建模競賽等活動，讓學生參與導師的科研活動，讓學生學會面對各種各樣複雜問題和環境，靈活運用公式和法則，在活動中展現了他們的激情和創新思維能力。另一方面，在科學技術飛速發展的今天，創新意識和創新能力日益成爲國際競爭力和國際地位的最重要的決定因素。而作爲現代思維方式的創造性思維是以邏輯抽象爲基礎的思維，因此有必要在數學理論學習和應用體驗的同時，學會更多的理性思考和抽象思維的能力。目前，高校正在試行的小班化教學、線上線下混合教學模式等教學手段，這將帶來創新性思維品質培養的活力和培養效率的提高。

在當今社會，良好的思維習慣已滲透到生活各方面。疫情控制、社會治理和企業管理等都面臨着大量碎片化問題，需要邏輯思維，實行系統管理。大數據處理、人工智能和金融控制等都面臨着大量複雜數據或表象，需要抽象思維，找出共性特徵和構建模型，實行數據管理。可喜的是，目前計算機已能高度模擬人類的邏輯思維，就是應用邏輯思維和抽象思維的最好體現。

青年人的思維習慣的框架正在形成，用數學思維訓練刺激大腦皮層，可以形成理性思維習慣，提高思維品質。邏輯思維和抽象思維是創造性思維培養的基礎。用數學所訓練的思維觀察現實，構造數學模型，學習數學的語言、圖表、符號表示，進行交流；通過理性思維，培養嚴謹素質，從一般到抽象，從抽象到一般，追求創新精神，這是新時代的要求和呼喚。

（作者爲東南大學教授，教育部大學數學課程教學指導委員會委員，國家精品在線開放課程負責人，國家級線上線下混合式一流課程負責人，“十一五”“十二五”國家級規劃教材《線性代數》主編。）