閱讀數學／如何把糉子塞滿冰箱？

糉子示意圖。圖／報系資料照

端午節的時候，你家冰箱塞滿糉子嗎？糉子的形狀非常接近「正四面體」。古希臘哲學家亞里斯多德曾經相信：把正四面體東拼西湊、互相堆疊，就可以佈滿整個空間。可是，後世的數學家發現亞里斯多德是錯的——正四面體不可能佈滿整個空間！既然沒辦法佈滿，那麼冰箱裡最多可以塞進多少顆正四面體糉子呢？糉子塞進去以後，冷凍庫內部空間的密度，最大是多少？

▍難倒數學家的「最密堆積」問題

這類問題，在數學上稱爲「最密堆積」問題。1900 年，數學家希爾伯特發表《希爾伯特的 23 道問題》，羅列了當時未能解決的數學難題。其中的〈第 18 道問題〉就包含了一道最密堆積問題。先想像一下「正方體」與「長方體」箱子。它們可以輕鬆佈滿整個空間（假設空間無限延伸）。它們的「堆積密度」達到100%。「正四面體」與「球體」則無法佈滿整個空間，只能退而求其次，找出最密的堆法。目前已經證明：球體的最大堆積密度約是 74.05%，不管怎樣都一定會留下縫隙。

▍正四面體的最密堆積

相較之下，「正四面體」的最密堆積，比球體還要困難得多。2006 年，數學家透過理論推導，找到一種密度大約是 72% 的堆法；2010 年，有研究團隊把實體的四面骰放進容器裡，發現密度可以達到 76%。2010年，又有人找到了密度爲 85.63% 的堆法。這個紀錄就這樣保持到現在。

假設你家冰箱冷凍庫的內部尺寸是 40 × 40 × 30 cm³，而且今年購買的糉子都是邊長 11.3 cm 的正四面體。由於冰箱內部不是無限延伸的空間，我們假設距離內壁 2.5 cm 以內的空間會有一些糉子的邊邊角角，無法再塞入完整的糉子。扣掉上下左右前後各 2.5 cm，實際能塞進糉子的空間，容積只有 (40 - 5)(40 - 5)(30 - 5) = 35 × 35 × 25 = 30625 cm³。但這個空間最多又只能塞滿 85.63%，所以能塞入的糉子體積大約只有 30625 × 85.63% = 26224 cm³。一個邊長爲 11.3 cm 的正四面體糉子，體積約爲 170 cm³。將 26224 除以 170，可得 154.55。也就是說，理論上冷凍庫裡可以塞進超過 150 顆糉子！

本篇文章與數感實驗室餘孟珂共同完成。