3.14圓周率日：你知道無理數和有理數的區別嗎？

今天是 3 月 14 日，這個特別的日子以圓周率 π 的前三位數字而被認定爲圓周率日，同時，它也被聯合國教育、科學及文化組織在 2019 年的第 40 屆大會上宣佈爲國際數學日。

在數學中，圓周率 π 作爲圓的周長與直徑的比率，無論圓的大小如何，這個比率始終保持不變。但它卻又是最著名的無理數之一，小數表示是無窮無盡且不循環的。

在這個慶祝數學美妙的時刻，讓我們聊聊，如何理解有理數和無理數。

有理數與無理數的區分是數學中的基本概念，反映了數的不同屬性。

有理數是可以表示爲兩個整數之比（分數形式）a/b 的數，其中 a 是整數，b 是非零整數。有理數既可以是正數、負數，也可以是零。這類數的特點在於它們的小數表示要麼是終止的，要麼是無限循環下去的。

例如：

觀察在小數點後六位之前，這個近似值都是準確的。這個精度對於古代的計算來說是非常驚人的，並且在沒有現代計算工具的情況下獲得這樣的結果顯示了祖沖之極高的數學能力和深刻的智慧。

與有理數不同，無理數不能表示爲兩個整數的比例。它們的小數部分既不會終止也不會無限循環。

無理數包括一些常見的數學常數，比如圓周率 π、平方根 √2 以及自然對數的底 e。例如：

在數軸上，每一個點對應一個實數。就是說，有理數和無理數都可以找到它們各自的位置，儘管它們的表示方式不同。

有理數可以通過分數形式在數軸上定位，因爲它們可以通過兩個整數之間的比例精確表示。例如，1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, ⋯，都會在 0 和 1 之間找到自己的位置。實際上，這些點是如此之多，以至於無法在數軸上將它們全部展示出來。這些有理數會在數軸上形成了密集的點集，而之間的空隙被無理數填補上去。數軸上沒有任何“縫隙”，沒有任何位置是空的。

術語“有理數”（Rational numbers）來源於拉丁語“ratio”，意味着比例。因爲有理數可以表示爲兩個數的比例，所以“有理”這個詞恰如其分地反映了這個特性。

而“無理數”（Irrational numbers）則是指那些不能用整數比例表示的數。這裡的“無理”指的是“非比例”，並不是指缺乏邏輯或理性之意。

有理數和無理數不僅是數學理論的重要組成部分，它們還在我們周圍世界的結構中扮演着關鍵角色。從科學的精確計算到日常生活中的各種度量，這些基本數學概念的理解有助於我們更好地洞察世界。