火箭推進速度上限的估算
本文用簡潔的方法，探討幾種原理上可能的火箭推進方式的速度上限。
撰文 | 吳從軍(西湖大學物理系 新基石科學實驗室)
來源 | 選自《物理》2024年第9期
我國長征5號B火箭的第一級採用液氫液氧做推進劑。相比較於傳統燃料(例如四氧化二氮搭配偏二甲肼)，液氫液氧燃料的推力大幅度增加，大大提高了火箭的有效載荷。長征五號B的成功，標誌着我國加入了世界火箭發展的第一梯隊，令人振奮。
目前，化學燃料仍然是各國火箭的主要推進劑，但是其推進原理有很大的侷限性，而且這個侷限性是本質的。化學鍵的能標(energy scale)，即形成或打破化學鍵時能量的變化範圍，只有幾個電子伏(eV)的數量級。這樣小的能標決定了單靠化學燃料難以把火箭推進到第三宇宙速度(16.7 km/s)。化學燃料推進可以實現太陽系內的行星際航行，但是要像科幻小說《三體》中描述的那樣，翱翔於星辰大海，進行恆星際航行，就需要擺脫太陽引力，對於這個目標化學燃料顯然是力不從心了。
要提高推進速度的上限，則需要提高推進原理的物理能標。本文不分析技術性的困難，只討論原理上的可能性。文獻中經常提到的離子推進(ion propulsion)，屬於電磁推進(electromagnetic propulsion)的一種，很容易把能標提高到千電子伏(keV)量級1)。在科幻小說裡流行的核動力推進，其能標在兆電子伏(MeV)量級。更加奇幻的正反物質湮滅推進，則可以把火箭推進到逼近光速的程度。下面我們通過簡單地推導，來估算這些推進速度的上限。
火箭通過噴射氣體獲得反衝而被推進
先回顧一下大學物理課上學過的Tsiolkovsky(齊奧爾科夫斯基)方程。最簡單的火箭，莫過於二踢腳了。儘管簡單，原理並沒有什麼不同，也是以噴射火藥燃燒的氣體來驅動。設其
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化學燃料推進
化學燃料的燃燒，其實是化學鍵的斷裂和再形成的過程，這中間能量的釋放形成火箭推進
這樣，我們可以得出結論：只採用化學燃料推進方案的火箭，可以達到第二宇宙速度(11.2 km/s)，但對於第三宇宙速度則是很勉強的。
02
電磁推進
這是一種用電磁場來加速工作介質並噴射，從而獲得反衝的驅動方式。比如“離子推力器”(ion thruster)方案，先將惰性氣體電離，用電場把離子加速後噴出。離子動能可以很容易地達到1 keV的量級。Deep space、Dawn等航天器上採用的氙氣推進，其比衝可以達到1700—3300s(以時間爲單位)，也就是17—33 km/s(以速度爲單位)。
可以通過簡單地估算來驗證這些數據的合理性：氙的原子量爲131，其原子的質量用eV做單位是131 GeV。如果用1 kV的電壓來加速氙離子(設只帶一個正電荷)，獲得動能1 keV。其比衝可以估算爲
離子推進的比衝大，並不代表其推力(specific thrust)大。推力反映的是火箭的加速性能，而比沖決定了最終能達到的速度。離子推進遠比化學推進所產生的推力要小，一般小於1牛頓。這是因爲在單位時間內，能夠噴射的離子數目非常少。離子推進只能在無重力高真空的環境中使用，使得火箭經過長時間微小的加速來達到高速度。
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核反應推進
核反應的能標在MeV水平，非常高。先考慮裂變，一個鈾235核裂變放出200 MeV能量。
在《三體》一書裡面，人類的星際戰艦的推進速度，可以達到光速的1/10。考慮到在上面的估算中對能量轉化率估計得比較保守，再考慮到火箭乾溼質量的對數因子，核聚變推進確實可以使得火箭達到1/10的光速。這時候相對論效應開始出現，但還不明顯，式(1)還可以適用。
04
正反物質湮滅推進
正反物質湮滅發射γ射線，採用這種方式來推進火箭，有望逼近光速。這時需要考慮相對論效應，公式(1)就不再適用了。下面來推導相應的火箭運動方程。假設γ射線可以由反射裝置全部向後方噴射。當然設計能夠反射γ射線的鏡子並不容易，那是未來科學家們的事，我們現在就假設其可行好了。
在地面參照系中，設在時刻t火箭的速度爲v(t)，並沿着x方向；火箭的靜止質量爲m(t)。則火箭的能動量四矢量爲
05
總結
各種火箭推進原理的物理能標不同，這決定了它們能達到的速度的上限。化學燃料推進的能標是eV，比衝的上限5 km/s；電磁推進的能標是keV，其比衝可以達到30—40 km/s的量級。核動力推進的能標是MeV，其比衝保守估計可以達到10000 km/s的量級。這些方案中的噴射物運動都是非相對論的。在相同能量轉化率的條件下，比沖和能標的平方根成正比。對於正反物質湮滅的推進方案，其噴射物是γ光子，比衝就是光速本身。
再考慮上火箭乾溼質量比的對數因子，化學燃料火箭的推進速度可以達到第二宇宙速度，但是要達到第三宇宙速度會很困難。因此，化學燃料推進是行星際航行的驅動方式。將化學燃料驅動和電磁驅動結合，可以超越第三宇宙速度，是恆星際航行入門階段的驅動方式。核動力驅動可以達到1/10光速的驅動速度，是恆星際航行正常的驅動方式。當然，正反物質湮滅推進可以逼近光速，是驅動原理的天花板，是星系際航行的推進方式。
本文經授權轉載自微信公衆號“中國物理學會期刊網”。
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