世界上最短的數學論文系列——尼文關於π無理性的證明，極爲巧妙

無理數很有趣，小數點後的數字永不循環地延續下去，但整個數字總是小於一個固定值，這就有點難搞了？沒有錯，我所說的就是π。在這裡，我們將討論一個半頁紙的證明，證明這個數字π的無理性。

人類文明知道π以及它與圓的周長和麪積的關係已經有幾千年了，可以追溯到古代巴比倫人，當時最後的猛獁象已經滅絕了。然而，儘管π的估值從3到3.12再到3.14等等，但π的無理性本質直到1760年才被瑞士學者約翰·海因裡希·蘭伯特發現並證明，後來又被其他著名數學家如埃爾米特、卡特萊特、布爾巴基和拉茨科維奇證明。

這些證明中，伊萬·尼文的證明用簡單易懂的數學工具及矛盾方法，將其壓縮在半頁紙裡。讓我們來看看。

首先假設π是一個有理數，可以表示爲π=a/b，其中a&b是整數，b≠0。讓我們考慮一個函數：

我們可以改變n，從1到任意數n的數，來創建一個多項式F(x)：

現在，回到f(x)，很明顯，當n!與f(x)相乘時，分母是1，因此對於任何x，f(x)值都是一個整數。所以：

現在，如果你考慮右手邊，(a -bx)^n中x的最小冪是0，即a^n，當它與x^n相乘時，結果中x的最小冪是n，最大是n+n=2n。

如果對f(x)進行微分，當x=0或(a-bx)=0=>x=a/b=π（如前所述）時，結果總是0，因爲分子中的所有項都有x。現在，讓我們對{F'(x)sin x - F(x)cos x}對x進行微分：

經過一點點簡化，我們得到了一個結果：

我們知道，積分是微分的逆運算，反之亦然。因此，如果我們對f(x)sin x進行積分，也就是對{F'(x)sin x - F(x)cos x}進行微分後得到的結果，得到{F ' (x) sin x - F(x) cos x} 在0到π的範圍內的積分：

這裡π = a/b。就像我們之前說過的，F(π) + F(0)是一個整數，當F(x)微分任意次數時，我們得到的結果是x = a/b = π和x = 0。

但由於f(x)是一個多項式函數，對於0

所以積分是正的，但實際上對於一個非常大的n值來說是不成立的，因爲常數或上界在更大的n值中趨向於0。

換句話說，本應該對任何n值都有效的積分在更大的n值時不成立。因此，有兩個地方可能出了問題，要麼是在積分過程中出現了錯誤，要麼是π實際上不能寫成a/b。但如果你用多種方法來驗證積分過程，結果總是一樣的，那麼只剩下一個選擇：π≠a/b，也就是π是無理的。

雖然現在有很多人記住了π後面的很多位小數，但只有少數人知道如何證明它的無理性。雖然有很多證明，但伊萬-尼文的證明是最簡明的。如果認爲這是理所當然的，那就失去了數學所能提供的所有樂趣。