命運的數學密碼
作者：老喻在加
來源：孤獨大腦（ID：lonelybrain）
01
讓我們來做一個好玩兒的遊戲：
如上圖，有藍色、紫色、橙色三個球，分別處在一個斜坡的不同位置。
遊戲規則：三個球從各自所在的位置出發，從斜坡上滾下來，最先滾到右側的獲勝。
請問：你選擇哪一個？
直覺上，橙色的球在最下方，離目的地最近，當然應該選它了。
正確答案是：三個球滾下來的時間是一樣的。
這其中，似乎有個隱喻：
先跑的人未必早到，早起的鳥未必先吃到蟲。
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02
本文開頭的那個斜坡，是一條等時曲線。
如上圖，三顆球受重力影響從不同位置出發，沿着等時曲線下滑時，滑落到曲線底部所耗費的時間是一樣的。
荷蘭數學家、天文學家暨物理學家惠更斯，最早在1673年發現了這個秘密。
但這時，他還不知道，等時曲線，同時也是最速降線。
“最速降線”這一問題的最早提出，來自伽利略。
他想，當一個球從同一個高度的斜坡滾下來，什麼樣的坡滾得最快呢？
如上圖，看似上面的直線距離最近，但卻不是最快路線。
伽利略自己猜測，最快路線應該是個圓弧。其實並非如此。
伯努利家族的約翰.伯努利解決了這個問題，他還廣發英雄帖，召集天下聰明人論劍“最速降線”，其中尤其點名了牛頓。
包括牛頓在內的幾位大俠解出了難題。
有趣的是，人們發現，原來，“最速降線”就是“等時曲線”。
03
正如當年惠更斯所研究的，這類曲線其實是一種擺線，如下圖：
當一個圓沿着一條直線滾動時，圓周上某一定點所形成的軌跡。
想象一下，圓上的黑點是隻小螞蟻，擺線就是小螞蟻在圓滾動時所經歷的曲線。
同樣是伽利略，在沒有微積分的情況下，徒手算出了擺線下方一個拱形的面積：
如何徒手？伽利略剪出了一個完整的擺線拱形，稱了它的重量，然後與生成它的圓的面積作比較。
他由此得出結論：擺線的面積大約是生成它的圓面積的3倍。
這一方法的靈感，來自浴缸裡的阿基米德：把體積（或面積）與重量聯繫起來。
後來數學家羅貝瓦爾算出，擺線拱形的面積，正是3個圓形的面積。
那麼，一個擺線拱形的弧長是多少呢？
數學家及建築師雷恩發現，是8r，也就是拱形高度2r的4倍。
雷恩參與了聖保羅大教堂重建設計，死後葬於斯地。墓碑上刻有這樣的拉丁語:Si monumentum requiris，circumspice。意思是：欲尋紀念碑，請看你周圍。
04
說回“最速降線”。
當我們把上面的擺線倒過來，就得到了下圖：
看上圖的左半截，從O到到最低點K，就是一個“最速降線”。
這類曲線有兩個特點：
1、球從O滾到K的時間最短，正是伽利略要找的；
2、球從O點、或M點和N點滾到最低點K的時間都是一樣的。
那麼，時間是多少呢？如下：
這裡面r是擺線拱高的一半，也就是形成擺線的那個滾動圓形的半徑。
g是牛頓老師的重力加速度，即地表自由落體運動的加速度，爲9.8 m/s²。
π 是著名的圓周率。
π，是人類理解宇宙最重要的常數之一。
這意味着，球從初始位置 M 下降到擺線槽最低點 K 所用的時間是一個常值，與初始位置無關。
仔細想想看，我們各自的命運，似乎也是個常數。
人生無常，命運如常。
05
一個人的命運是天生註定的嗎？
貌似如此。
不然爲什麼文藝作品裡，總是把“改命”作爲長久的主題。
不管是童話，還是武俠片，還是迪斯尼或皮克斯的動畫，或是宮廷戲，網絡爽文，關鍵詞都是：改命。
這說明了一件事兒：改變命運很難。
缺什麼就吆喝什麼，對個人而言如此，商家更是如此。
商家吆喝的東西全都是現實中很難實現的。
說起來，最讓人感慨“命運如常”的公式，可能還是“大數定律”。
又是伯努利家族。雅各布·伯努利，於1713年完成了大數定律的證明。
人們對概率的理解如此“晚熟”，令人意外，說明我們對不確定性的理解和研究都非常稚嫩。
《數學之書》寫道：骰子原本是用有蹄動物的踝骨所制，是古代產生隨機數的方法之一。
直到今天，相信骰子、占卦的人還是爲數衆多。
大數定律“說明”了一些隨機事件的均值的長期穩定性。
人們發現，在重複試驗中，隨着試驗次數的增加，事件發生的頻率趨於一個穩定值；
人們同時也發現，在對物理量的測量實踐中，測定值的算術平均也具有穩定
性。
有趣的是，雅各布·伯努利對“大數定律”的批註：
比如說，假如你是一個骰子，假如你扔出一個1就中獎，你的一生就是不停扔骰子，那麼你中獎的概率就是1/6，時間越長越接近這個數字，和你是否努力、手勢是否高明、動作是否優雅，都毫無關係。
每一次扔骰子的結果很難預測，這是人生無常；
基於統計的得出某個數字的可能性，則符合大數定律，這是命運如常。
06
數學公式裡既有“人生如常”的宿命論隱喻，也給出了“改命”的變量。
先看“等速曲線”的時間計算公式：
雖然上面的g和π是常數，但還是有一個與主體有關的變量“r”。
我們假設有兩個r值不一樣的“等速曲線”斜坡，一個是r1，一個是r2。圖中r值爲曲線高度一半。
每個斜坡上都有高、中、低三個高低不同的出發點。
根據“等速曲線”的時間計算公式，我們知道，圓球下降的時間變化僅取決於r，與球的初始位置無關。
所以，假如我們想讓圓球下降更快，應該選r較小的斜坡。
而一旦選對了最速降線，到達目的地的時間其實和出發地（不包括直接在終點的）無關。
這是多麼精確而生動的雞湯式隱喻：賽道比賽馬重要，選擇比努力重要。
假如選擇了正確的“最速降線”斜坡，後發者也可能先至。
而有些時候，我們的各種折騰各種努力，其實對改變命運而言是無濟於事的。
當然，也只是“有時候”。
07
2010年，任正非在國外出差，他突然想給母親打個電話，又怕母親擔心，就想着回去再打。
結果接到電話，母親出門買菜，被車撞至重傷，不久便辭世了。
任正非說這是他一生中最大的憾事，從此以後，他都要在一個無法自拔的假設中煎熬着：
這是一個心碎的故事。
也許每個遭遇瞭如此飛來橫禍的家庭，都有類似的“反事實假設”：要是他晚出門一分鐘，要是她和鄰居少聊幾乎，會不會避開那場發生在一秒內的致命車禍？
2017年美國車禍死亡人數是37133人，2016年這個數字是37461。爲什麼這兩個數字如此接近，好像死神也有KPI一樣。
大數定律冷酷地依照系統，像扔骰子一樣，得出一個穩定的數字。
這個數字，並不因爲遇難者家屬“如果......就好了”的傷感而改變。
一片森林出現火災的次數，一個國家新生嬰兒數量，一個地區晴朗的天數等等，這些重複出現的事件出現的次數，都會在一個穩定的區間內波動。
對個體而言，發生車禍是隨機事件，但一個城市每年車禍數量則呈現相對穩定的結果。
大數定律像死神之手。
也有時候，像天使之手。
08
幸而，對於個體而言，也有與大數定律共舞的自身變量。就“最速降線”裡的r。
打個比方吧，你自己就像一個骰子，扔出數字1你就中獎。根據概率，你的中獎機會是六分之一。
要改變中獎率，你沒有辦法改變大數定律，就只能改變自身的結構。
比如說，假如你變成了一個金字塔形狀的骰子，就只有五個面，所以你扔出數字1的中獎概率，就提高到了1/5。
你如果把自己變成了硬幣，其中一面是數字1，那麼你獲勝的概率就變成了二分之一。
09
說起改變自己的人生概率，和你分享一個特別觸動我的傳奇：關於高爾夫球手“老虎伍茲”改變自己揮杆姿勢的故事。
一個頂尖球手，早就形成了自己的揮杆姿勢，有些人一輩子都不會變。但是伍茲不這麼想，在他贏得多次大滿貫冠軍之後，仍然主動改變揮杆姿勢。
作出這個選擇可謂相當艱難，爲什麼？因爲球手在這個過程中，必須和原來的舊習慣抗衡，還要冒着成績下滑的風險。
在人們質疑他的改變時，他說自己是：“先退後進，然後大踏步前進。”
假如你永遠按照老的揮杆姿勢，就像持續扔一個結構沒有變化的骰子，很難有大的突破。
而老虎伍茲，在已經非常成功的基礎上，依然勇敢改變自身概率，調整揮杆姿勢，從底層重新構建自己的擊球優勢。
如果他不作改變，因爲傷痛和年齡的限制，伍茲就很難再次回到巔峰。
就像我們剛纔說的，從系統層面上，把自己變成了一箇中獎概率更高的骰子。這種改變往往是痛苦的，但更是脫胎換骨的。
正因爲伍茲面對人生有這樣的勇氣，所以他在經歷了多次手術，遭遇了一系列人生低谷後，還能在43歲神奇般拿下美國大師賽，被稱爲“歷史上最偉大的迴歸”。
10
英國作家白哲特說，生活是概率的大學校。
在這個學校裡，我們每個人不應該甘心當一個被扔來扔去的骰子，被大數定律支配命運，而是要去努力探尋人生的概率。
人生無常，但我們仍然能夠從中發現某些模式；
命運如常，但對個體而言最大的“常數”就是你自己。
當然，對於絕大多數人而言，改變自己，比改變常數π還難。
也許是因爲，有些時候，我們並沒有必要那麼慌里慌張地爲難自己。
前提是你選對了“最速降線”。
如此一來，起跑線遠點兒、近點兒無所謂。
也沒必要總和身邊最富的比錢多，和最傻的比快樂，和最勤奮的比拼命。
我喜歡樑冬老師院子裡的一幅字：
何事驚慌？
在那輛埃隆·馬斯克送向太空的的特斯拉跑車上，屏幕醒目顯示着：“Don’t Panic”（不要驚慌）
我想起2006年去德國，在慕尼黑街頭看見一個跑得很慢的小車，車屁股後面有一行字：想超車你就超吧，反正我們還會在下一個紅綠燈再見。
作者：孤獨大腦（lonelybrain），可能是最燒腦的公衆號。
THE END